Grant Sanderson (@3blue1brown) 深度访谈

开场介绍 Grant Sanderson 正在做一个记录 AI 数学进展的新项目，并提出核心问题：AI 在数学上进步极快，这是否能预示 AI 对其他领域的影响。主持人回顾三年前曾问过 Grant：如果 AI 能在国际数学奥林匹克中拿金牌，是否就等于 AGI。Grant 当时认为这只会成为又一个被攻克的基准，而不会出现决定性的“aha”时刻。Grant 解释说，IMO 题表面上要求创造力，但实际上很多题型可以训练，数学能力本身也呈现尖峰式前沿。

Grant 具体分析了 AI 在 IMO 中的表现差异。2024 年的模型已经非常强，如果不是组合题拖累，可能已经拿到金牌。几何题被描述为几乎可以“冷启动”解决，因为存在暴力求解路径；而组合题更像谜题、更有游戏性，也更难用固定套路覆盖。他指出，数学内部的进展并非均匀，AI 能在某些子领域表现超强，同时在另一些子领域明显吃力。那些坚持数学仍有人类最后堡垒的人，往往会把组合题视作更需要创造力的代表。

双方转向更高阶的问题：如果 AI 解决千禧年难题，是否意味着它也能自动化大量白领工作。Grant 区分了不同解法形态。如果黎曼假设的突破来自跨领域连接，例如把解析数论与量子物理或随机矩阵理论中的相似结构联系起来，这很符合 LLM 的潜在优势：它们拥有跨学科的广度，可能不需要像 Montgomery 和 Dyson 那样偶然共进午餐才能发现联系。但如果解法需要像费马大定理那样建立全新理论山脉，则代表更深层的概念创造能力，这种能力若出现，将对经济产生远超 IMO 金牌的转化性影响。

主持人承认自己在某种程度上移动了标准：过去曾认为 AI 若能用广博知识连接想法、做出新发现就很惊人，而单位距离猜想的反例已经接近这种表现。接下来更高的标准可能是：AI 能否提出有价值的问题、猜想，甚至创造新的数学对象和定义。Grant 引用数学界常见说法：好数学家证明定理，伟大数学家提出猜想，最伟大的数学家提出定义。但他也指出，这类能力很难变成清晰基准，因为“好猜想”不像解出一道题那样有明确通过线。更现实的衡量方式，是数学家与 AI 合作时语气发生变化，开始认为模型能帮助他们决定研究方向。

主持人进一步指出，当前范式中，不能被做成基准的能力通常也难以训练，因为基准和训练环境没有根本区别。他谨慎地提出，尽管很多看似深层的 AI 局限后来会被证明只是思路错误，但现有 RLVR 训练似乎难以直接培养“创造新理解方式”的能力。他以爱因斯坦广义相对论和数学中的新概念化为例说明，重要科学进展常常不是为了解决一个已知现象，而是提出一种统一世界的新框架，随后解释了人们原本没有要求解释的现象。这类概念的验证周期可能长达百年。

Grant 对 Galois 的例子展开回应，认为它非常适合说明“重要洞见不一定有即时效用”。他提到自己曾花一年时间研究 Galois，并指出 Galois 理论的价值不是当场被数学界确认的，而是一个思想在许多人头脑中流动了近百年后，才逐渐沉淀为公认的重要理论。随后他回顾五次方程问题的历史背景：人们从学校熟悉的二次公式出发，后来意大利数学家找到三次和四次方程公式，自然提出是否存在五次方程通式的问题。Abel 最早证明五次方程一般无法用根式求解，但这背后还要追溯到 Lagrange 的关键问题意识。

Grant 解释 Lagrange 在五次方程问题中的关键贡献：他并未直接解决问题，而是找到了正确的提问方式。他意识到，求解多项式与某些代数表达式在变量置换下的对称性密切相关。通过研究表达式在不同排列下取值如何变化，Lagrange 发现四次方程可降到三次方程的结构线索，并进一步思考这一方法能否扩展到五次方程。虽然他没有完成证明，但他首次让人们意识到，关于对称性的问题可能是理解多项式求解性的关键。这种问题在当时甚至更像一个业余或娱乐性的数学方向，而非主流应用数学。

Grant 最后回到 Abel 与 Galois 如何继承并推进 Lagrange 的思想。Abel 和 Galois 都受到 Lagrange 影响，但 Galois 更深刻地把问题推向抽象层面，理解到其中真正重要的是结构。Grant 提到 Galois 年少入狱、论文曾被学院拒绝，他的证明并不完整，表达也不够清晰，因此当时的“验证函数”给出的结果是“不好”。但 Galois 仍有一种直觉，认为自己捕捉到了数学转变中的某种东西。这一例子强调，真正原创的数学概念在早期往往难以被当代标准验证，也未必能被简单奖励信号捕获。